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倒行
When you try your best, but you don't succeed
When you get what you want, but not what you need
When you feel so tired, but you can't sleep
Stuck in reverse
-- Fix You (Coldplay)
偷得暇日，悠闲出逃。
上了火车，在最近的位子坐下。以前总是坐面对行驶方向的座位，但这次忘了留意方向。打开手机地图看一眼，它指向偏了，没起到帮助。只好先随便坐了。
把包放到旁边空位上的时候，想起了里面装着的几个橘子。并没有什么特别的原因，只是上周买的橘子没吃完，出门的时候顺手带上了。当然，火车和橘子还算般配。
火车开动了。果然坐反了。但懒得再找座位了。反正火车比较平稳，反向坐应该没有太大区别吧。
车向后加速起来。当然也可以说是窗外的一切向前飞过。风将车窗上的雨水吹成细碎水滴，连泪痕都在远去。果然，阴雨天不宜出门。不只是因为会把衣服淋湿。
我坐在倒行的火车上，看着窗外的仓库和工厂，随着重复的节奏轻微摇晃，摇晃，摇晃出了一个问题——
如果不看窗外，乘客能否在近似匀速行驶的火车上判断其行驶方向？
如果是完美的匀速运动，答案当然是不能。所有惯性系里物理定律形式相同。但现实中只存在近似的匀速运动，火车的速度总会有微小的波动。那么这个问题其实在问——我们能否探测到火车速度波动的不对称性，从而判断其行驶方向？
先做一个简单的试验——闭上眼睛，想象火车正往反方向行驶。车厢如轻波中的小船，细微而均匀地摇晃着。察觉到的摇晃没有与想象中的运动有明显矛盾。我可以骗过自己。所以，初步的结论是不能。（这告诉我们，如果不向外观察，即使在开倒车可能都察觉不到。）
想要进一步研究这一问题，我们可以进行更精确的定量分析。比如用加速度计测量火车加速度在0上下的微小波动，试着从数据中发现不对称性。那么，哪里有加速度计？
事实上，每个人的智能手机里都有。智能手机之所以“智能”，不仅因为其拥有丰富的软件，还因为它装备着多种传感器。这些传感器极其微小而且被包装了起来（无论是外形上还是功能上），因此不太被人留意。根据Sensor Kinetics这款应用显示的信息，我手机里的加速度计型号是ICM40605，精确度为0.002 m/s²，量程156.9 m/s²，最小延迟5ms（即最大采样率200Hz）。还有一款由德国亚琛大学开发的优秀应用phyphox，调用手机里的传感器进行各种测量，还可以分析或导出数据，用于物理实验再合适不过。我用它测量了手机放在静止的桌子上时的加速度，其标准差为0.004 m/s²，略高于前面的数字。此外，数据点间的最小间隔也约为0.004 m/s²。这个数字可以作为加速度计的精度。
相比之下，人体内的加速度计精度如何？人类（及其他脊椎动物）利用位于内耳的前庭系统里的耳石来探测线性加速度。实验显示，人类感知前后方向线性加速度的阈值为8.5 cm/s²（即0.085m/s²。侧向为6.5 cm/s²）。这比手机加速度计的精度低了一个数量级。
我将手机放在火车地板上测量了几段数据。下面两组数据来自比较平直的路段。
由于数据波动比较大，蓝色图像对加速度作了0.1秒的移动平均（灰色是1秒的移动平均）。绿色曲线是对加速度的积分，即相对于测量开始时的速度变化。
这篇博文提到一列三节车厢满载500人的火车从静止启动的加速度大约在1m/s²到0.1m/s²之间。而本次火车平均速度约为20m/s。参考以上数字，这两段测量期间速度变化确实很小，符合要求。
从图像来看，速度的变化有一个特征——局部最小值是平滑的，而局部最大值不是。由于我的座位面向车尾，图像里速度增加对应着火车减速。这意味着缓慢减速、突然加速。这似乎说得过去：阻力近似于常数，所以减速是平缓的；而加速来自于发动机，难免有一定的前冲。（记不清当时手机放置的方向了，推测如此。数据有限，有待进一步验证。）
这种不对称性可以用来判断火车前进的方向，但这需要比较显著的速度变化。一开始的问题是更难的版本：如果火车近似匀速，能否区分前后？
于是我选取图1的深色部分进一步分析。先看一下频谱。
峰值在11Hz左右。它的来源是什么？一个猜测：直径20cm的车轮在20m/s车速下的旋转频率为16Hz，差得不远。还有一个峰在58Hz，或许跟60Hz的交流电有关？（图2的频谱类似，不过58Hz的峰更高一些。）
高频应该没有什么有用的信号，接下来主要关注低频部分。
匀速运动意味着一段时间内加速度均值为0，但加速度的分布未必对称。所以下面考察一下两段数据的分布。（经过了15Hz低通滤波器。）
加速度的分布还是非常对称的，偏度(skewness)接近0。形状也比较符合正态分布。看来没法通过这个作出判断。
即使加速度在一段时间内的分布是对称的，它随时间的变化未必对称。也就是说，a(t)图像正数部分和负数部分的形状未必相同。于是我比较了两部分的频谱。
二者非常相似，无从区分。我还观察了二者autocorrelation的图像，似乎稍有区别，但也得不出什么明确的结论。暂时想不到其他分析方法，这个问题就先搁下吧。上面尝试的是“全局”的方法，或许特定的局部信号可以区分前后方向（比如某种特殊的波形）。但难点在于无从猜测它会出现在哪里，而且不知道信噪比是否足够好。
到站了
我被敲窗户叫醒
背上包迈出车门，汇入散去的人潮
一切都要行进吗，就像这城市和站台
除了遗落的橘子，以及悬挂的星球
一切都在走，没有回退和暂停
为什么心要向往别处，别处无法抵达
躁动的心哪，等不及认清方向
来去匆匆的路上，不知是前进还是倒行
2019.11
2020.5 & 10
2021.12
本文几经搁置，拖延了两年之久……（部分原因是没想好如何分析。）
这两年间再没坐火车。
结尾不知如何是好。本来想引用顾城的诗《铁铃》里的一段，又觉得有点勉强，于是窜改之。原句如下，是全诗的最后一节。
你走了
我始终一点不信
虽然我也推着门，并且古怪地挥手
一切都要走散吗，连同这城市和站台
包括开始腐烂的橘子，包括悬挂的星球
一切都在走，等待就等于倒行
为什么心要留在原处，原处已经走开
懂事的心哪，今晚就开始学走路
在落叶纷纷的尽头，总摇着一串铁铃
